«Параллель Тучкова». Часть пятая, в которой новые эксперты проводят новую экспертизу

Теперь, когда у нас есть необходимые теоретические знания из второй части и мы с вами вооружены необходимыми инструментами, которые я описал в части четвертой, давайте наконец приступим к новым измерениям и вычислениям!

Однако подождите. Я ведь вам еще не сказал, что собственно мы будем измерять. Как вы уже наверное догадались, лучшие инструменты потребуют и лучшего набора данных. И такой набор действительно есть. Уже много лет тому назад на сайте польского проекта mapywig.org были размещены прекрасные сканы военно-топографической трехверстной карты [1], которые не содержат тех неприятных дефектов, о которых я упоминал во второй части. Второй важной особенностью этих карт является то, что большинство из них может быть легко датировано, как минимум, по принципу «не ранее, чем...», а для значительного количества существует и точная датировка до года. Эти датировки я еще буду не раз обсуждать впоследствии, пока же отметим, что такая возможность есть.

Второй важный вопрос, который лучше всего задать с самого начала — это сколько измерений нам понадобится? В таблице, которую я сейчас начну обсуждать, приведено 160 измеренных углов (ровно столько, сколько было измерено в 2011-м году), однако это совершенно не значит, что для решения нашей задачи с приемлемыми точностью и надежностью необходимо такое количество. Более того, как мы с вами увидим немного позже, избыток измерений может быть так же вреден, как и их недостаток. Будем считать, что в таблицу я включил данные с запасом, для того, чтобы они были под рукой для других работ впоследствии.

Давайте теперь начнем вводить данные в таблицу, а заодно и посмотрим, как она устроена. Сейчас нас будут интересовать первые два листа: «Геометрия листов» и «Расчет по 3 меридианам». Первый лист, «Геометрия...» содержит необходимую описательную часть и исходные данные измерений, весь же нужный нам расчет ведется на втором листе. Рассчитываемые ячейки всех таблиц (те, которые содержат формулы или ссылки на другие ячейки) отмечены светло-серым цветом фона, те же ячейки, которые требуют ввода «сырых» данных, оставлены без заливки.

Самый первый столбец «Лист» содержит названия листов карт в том виде, в котором они хранятся на сайте Mapster. Все они содержат в названии фрагмент «VTK». Названия без этого фрагмента относятся к небольшому массиву платных сканов, о которых я писал во второй части, и которые я добавил к основному массиву большей частью для сравнения. Листы карт в целом упорядочены вначале по горизонтальным рядам с севера на юг, а внутри ряда — по вертикальным колоннам с запада на восток [2]. Если внутри одного листа удавалось измерить более одного угла, то и данные, относящиеся к этому листу упорядочены таким же образом: по уменьшению широты с севера на юг, а внутри одного значения широты — с запада на восток [3].

Следующий столбец «Год издания». Здесь я пошел по максимально консервативному пути: точно датированной (до года) считается карта, имеющая отпечатанную надпись с указанием года печати или составления, например: «Составлено в 1923 г. по рекогносцировке 1922 г.» или «Печатано в VI — 1909». Если же на листе карты указаны лишь даты уточняющих съемок или рекогносцировок, то такие листы я считаю окончательно составленными (а следовательно, и отпечатанными) не ранее или даже после соответствующего года съемки или рекогносцировки. Никакие другие пометки на карте, которые можно было бы принять за даты, в расчет не принимались. Возможно, что авторам некоторых карандашных пометок год издания и был очевиден из каких-то своих источников, но для нас с вами эти источники отсутствуют [4].

Столбец «Разрешение» показывает разрешение выбранного листа в пикселях растра на дюйм. Данные для него берутся из свойств выбранного изображения в редакторе GIMP. Эта величина позволяет пересчитать измерения, сделанные инструментом Измеритель GIMP из пикселей в дюймы. Прямо сейчас величины в дюймах нам не понадобятся, однако для справок и дальнейшей работы они включены в таблицу, о чем немного ниже.

Следующие три столбца таблицы («Левая», «Правая» и «Ср. высота рамки») и относятся к вертикальным размерам внутренней границы рамки карты. Очевидным образом, средняя высота в дюймах получается простым усреднением левой и правой границ с последующим пересчетом, используя данные о разрешении. Угол наклона вертикальных границ рамки относительно границ растра я тут не использую, поскольку эти величины справочные.

Зато этот угол мы с вами учтем при измерении горизонтальных границ рамки (это следующие 9 столбцов). Измеряя инструментом GIMP, к примеру, верхнюю границу, мы сразу имеем три величины: «ширину» (горизонтальный катет прямоугольного треугольника), «высоту» (вертикальный катет) и угол в градусах («угол верхней изм., град»). Этот угол и есть угол наклона листа карты относительно границ растра, который, как мы помним из предыдущей части, обязательно следует учесть после измерения наклона хорды, стягивающей два меридиана. Точно такие же измерения сделаем и для нижней границы, а в дальнейших вычислениях оба этих угла усредним. Так же, как и абзацем выше, «Средняя ширина рамки» в дюймах получится из этих двух измерений. Что же касается оставшихся двух столбцов в этой группе (с «рассчитанными» углами) и которые, в отличие от «измеренных», я даю с точностью до трех знаков после запятой, то они рассчитываются по простой тригонометрической формуле из величин измеренных катетов и, как уже говорилось в предыдущей части, служат лишь для контроля верности ввода в таблицу измеренных углов [5].

Следующие два столбца, «Долгота» и «Широта» — это как раз те столбцы, куда мы с вами вводим координаты точек пересечения меридиана с параллелью, в которых хотим найти угол касательной к параллели. Еще раз напомню, что этот угол в точности равен углу наклона хорды, которая стягивает два соседних (и равноотстоящих) меридиана. Именно этот второй угол мы и будем измерять и рассчитывать в оставшихся столбцах таблицы.

Итак, проведя Измерителем отрезок, стягивающий два меридиана, соседних с интересующим нас, в точках их пересечения с параллелью, получаем три величины: «Хорда, ширина», «Хорда, высота» и «Угол хорды изм.» — точно так же, как и выше при измерении угла наклона рамки. Теперь нам с вами нужно исправить эту измеренную относительно границ растра величину угла на величину угла наклона рамки относительно растра, который мы измерили двумя абзацами выше. Этот расчет и происходит в столбце таблицы «Угол касательной, расчет по изм. углам». Обратите внимание, что для расчета берутся оба угла наклона: верхней и нижней границы рамки и в качестве поправки выступает их усредненная величина. Так следует делать всегда, чтобы уменьшить влияние искажений геометрии листа карты при ее возможной неравномерной деформации.

Что же касается двух столбцов таблицы «Угол хорды, рассчит.» и «Угол касательной, расчет по рассчит. углам» то они точно так же, как и выше для угла наклона сторон рамки носят вспомогательный, контрольный характер и в дальнейших расчетах участия не принимают.

Наконец, в последнем столбце «Примечания» помечены те листы, которые содержали физические дефекты, ошибки или небрежности при сканировании. От них можно было бы ожидать какого-то нестандартного поведения при измерениях или расчетах. Впрочем, исходя из полученных данных, эти опасения, к счастью, не оправдались.

Теперь, прежде чем мы с вами перейдем на следующий лист нашего файла и займемся изучением расчетов, давайте сделаем полшага назад и посмотрим внимательнее, что из себя представляют наши «независимые переменные», которые мы только что обсудили (а именно, «Долгота» и «Широта») и относительно которых мы измеряем переменную зависимую, а именно, угол наклона касательной. Это очень важный вопрос, поскольку относится к плану эксперимента, и его уместнее обсудить прямо сейчас, еще до того, как мы перейдем к расчетам.

На графике ниже таблицы я отметил точки (в координатах «Широта»-«Долгота») всего массива листов, по которым проведен расчет. Из него легко увидеть, что на самом деле наши «независимые переменные» не так уж независимы [6]! В самом деле, во-первых, они определены не в полностью случайных точках плоскости «Широта»-«Долгота», а лишь только в определенных, с фиксированными значениями. Во-вторых, из-за ограниченности всего набора данных мы даже эти определенные точки не можем выбрать полностью случайно, или хотя бы равномерно, а часто вынуждены пользоваться тем, что есть. И это видно прямо на графике: точки группируются в более или менее регулярную сетку, которая к тому же содержит и регулярные «паттерны» в виде горизонтальных, вертикальных и даже наклонных линий. Такой вид нашего плана заставляет предположить, что мы с вами столкнулись с одной неприятной проблемой статистической обработки таких данных, а именно — с проблемой мультиколлинеарности [7]. Этой проблеме почти всегда отведено место в любом учебнике по статистике, хорошо и доступно она изложена в книге Ф. Картаева [8]. Здесь обсудим ее лишь коротко.

Если говорить простыми словами, то мультиколлинеарность — это наличие сильных связей (корреляций) между «объясняющими» переменными. В пределе такие корреляции могут превращаться в точную функциональную (например, линейную) зависимость. Давайте обсудим, чем это нам может грозить, но прежде для понимания зафиксируем важный факт: эти корреляции могут возникнуть не только из-за того, что переменные на самом деле связаны, скажем, линейной зависимостью, но и из-за того, что мы так выбрали данные для наших с вами расчетов. Именно поэтому я и упомянул «план эксперимента» несколькими абзацами выше.

Итак, сильная мультиколлинеарность приводит к тому, что количество «объясняющих» переменных становится в определенном смысле избыточным. В самом деле, нет никакой необходимости, скажем, в двух объясняющих переменных, если одну можно выразить простой линейной формулой через другую. Говоря в общем и предельном смысле, когда функциональная зависимость между «переменной отклика» и объясняющими переменными неизвестна и лишь моделируется на основе экспериментальных данных это может привести к пересмотру всей модели и исключению из нее какого-то количества переменных. К счастью, это не наш случай: в нашей нелинейной модели мы уверены, а рассчитываем лишь один из параметров этой модели.

Но если мы не должны и не можем менять количество переменных модели, то у нас остается риск, который прямо вытекает из «избыточности» переменных: задача поиска оптимального значения параметра, при котором, например, сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от линии нашей нелинейной регресии минимальна, может вообще иметь не единственное решение! Или,что чаще встречается, иметь множество решений в широкой области значений оптимизируемого параметра [9].

Тогда давайте оценим имеющиеся данные. Это делается очень просто: строится таблица (матрица) корреляций значений широты и долготы между собой. В LibreOffice так же как и в Excel для этого есть специальная функция. Эта табличка и приведена под основной таблицей с массивом всех данных. Из нее следует, что на полном массиве из 160 измерений значение коэффициента корреляции между широтой и долготой достигает 0.29 [10]. Много это или мало?

В литературе принято считать, что существенной или «сильной» мультиколлинеарность признается, когда корреляция между «объясняющими» переменными становится больше 0.7. Впрочем, в [8] указана и менее критичная величина: «более 0.9». В то же время диапазон 0.3-0.7 считается областью «средней» мультиколлинеарности. Примерно это значит следующее: у нас нет повода беспокоиться о правильности самой модели, однако вычислительных трудностей здесь можно ожидать.

Так что, исходя из полученной величины корреляции, можно сказать, что на всем массиве данных мы вплотную подобрались к области средней мультиколлинеарности, а поскольку дальнейшее добавление точек эту корреляцию только увеличивает, то на этом количестве есть прямой смысл и остановиться [11]. Еще большим количеством мы не добьемся увеличения точности, а наоборот, можем ее ухудшить за счет худшей сходимости работы алгоритма минимизации.

Дальнейшее обсуждение проблемы мультиколлинеарности выходит за рамки этого цикла; констатируем лишь еще раз, что для дальнейших расчетов нам с вами не требуется больше данных, чем у нас уже есть, и перейдем, наконец, на следующий лист нашего файла: собственно к расчетам.

На листе «Расчет по 3 меридианам» все ячейки таблицы имеют серый фон, потому что все они рассчитываемые — по формулам или повторяют значения ячеек с предыдущего листа.

Второй, третий и четвертый столбцы, а также столбцы «Долгота, град» и «Широта, град» как раз и являются таким повторением и служат исходным материалом для дальнейших расчетов. Отдельных пояснений потребовал бы самый первый столбец, «Случайный индекс», но обсуждение его предназначения я отложу до конца этой части, там оно станет очевидным.

Далее идут три вспомогательных столбца, которые пересчитывают широту, долготу и угол касательной, первоначально измеренные в градусах, в радианы. Напомню, что формула наклона касательной требует, чтобы все угловые величины в ней были в радианах, поэтому и весь дальнейший расчет ведется именно в этих единицах. В самом конце для наглядности некоторые важные вычисления переводятся обратно в «градусно-минутный» вид.

А дальше начинается собственно статистика. Под столбцом «Угол касательной, рад» посчитано его среднее значение на всем массиве измерений. А в следующем столбце, «Квадрат отклонения от среднего угла» посчитана важная статистическая величина, сумма по столбцу которой (эта сумма также приведена внизу столбца) определяет меру изменчивости всего диапазона величин наших с вами измеренных углов. 

Эта мера потребуется нам в дальнейшем для расчета еще одной важной характеристики: индекса корреляции нелинейной регрессии, но для такого расчета понадобится еще одна вещь, которую мы найдем немного позже. Поэтому продолжим наше путешествие по таблице.

Дальше в ней идут два столбца (в градусах и радианах) собственно рассчитываемой нами широты главной параллели φ(1). Все значения в столбце одинаковы и равны значению широты в ячейке «Пробный угол», которая находится под основной таблицей. В эту ячейку вводится первоначальное («стартовое» или «пробное») значение широты, начиная с которого алгоритм Решателя будет искать конечное решение (напомню, что в окне настроек Решателя именно эта ячейка указывается в поле «Изменяя ячейки», подробнее об этом было написано в предыдущей части). Когда алгоритм закончит счет, в ячейке «Пробный угол», а значит и в указанных двух столбцах, будет содержаться уже конечное решение задачи.

В следующих трех столбцах считаются промежуточные данные из формулы (2*) из предыдущей части, а также угол E — расчетный угол касательной при заданной величине φ(1). Думаю, что уместно повторить эту формулу здесь еще раз:

E = λ*cosφ/(ctgφ(1) + φ(1) - φ)  (2*)

Очевидно, что угол E будет изменяться одновременно с φ(1) при каждом шаге работы алгоритма. Когда решение сойдется к конечному, в этом столбце будут содержаться окончательные значения и для углов E. Отклонения экспериментально измеренных углов от этих рассчитанных и содержатся в следующих трех столбцах таблицы (в радианах, градусах и - самое наглядное - в минутах), а под этими столбцами рассчитаны средние значения этих отклонений.

Отклонения (или «остатки») являются вторым необходимым источником данных для работы Решателя. Говоря точнее, таким источником является сумма квадратов этих отклонений, которая считается под предпоследним столбцом таблицы, а сам столбец содержит эти квадраты. Именно значение этой суммы квадратов указывается в поле «Целевая ячейка» Решателя (подробнее настройки Решателя были разобраны в предыдущей части). Кроме того, значение в этой ячейке с суммой является второй необходимой вещью для расчета индекса корреляции, о котором я говорил несколькими абзацами выше. Сам индекс корреляции (R) считается в ячейке под таблицей, а определяется он как доля разброса или изменчивости всего диапазона углов, которые объясняются линией регрессии (то есть, нашей функцией с уже оптимизированным параметром φ(1)) ко всей изменчивости углов.

Наконец, последний столбец таблицы содержит квадраты отклонений каждого из остатков от их среднего значения. Суммирование же по этому столбцу с последующими несложными вычислениями позволяет рассчитать и стандартное отклонение этих остатков. Оно и приведено под этим столбцом (также в радианах, градусах и минутах). Кроме того, приведены и значения удвоенного и утроенного стандартного отклонения. Они определяют диапазоны, в которые должны попадать значения остатков с 95% и 99,9%-ной вероятностью соответственно [12].

И вот теперь, когда у нас с вами введены и рассчитаны все необходимые данные нам остается только ввести какое-то стартовое значение для расчета в ячейку «Пробный угол», вызвать Решатель, выставить в нем нужные параметры так, как мы уже обсудили в предыдущей части [13] и запустить алгоритм. Через пару секунд в этой ячейке мы получим искомое рассчитанное значение широты главной параллели. Легко проверить, что с какого бы стартового значения мы ни начинали, итоговое решение всегда сойдется к одной и той же величине, почти в точности равной 52°.

Прежде чем идти дальше, давайте остановимся еще на двух иллюстрациях, которые довольно информативно визуализируют наше полученное решение. Они приведены на двух графиках, которые располагаются прямо под таблицей.

Первый график — это «график остатков», то есть зависимость величины остатка от порядкового номера измерения (в данном случае). Здесь нас интересует только один вопрос: являются ли эти остатки случайными или в них осталась какая-то невыявленная нашей регрессией закономерность? На первый взгляд никакой закономерности тут нет, но количественно на этот вопрос отвечает линия тренда, построенная на этих остатках. Она строится стандартными средствами LibreOffice, а из приведенной формулы этой линии тренда хорошо видно, что и ее наклон, и коэффициент корреляции практически равны нулю — как и должно быть для упорядоченного ряда вполне случайной величины.

Здесь я не зря употребил сочетание «упорядоченный ряд». Внимательный читатель помнит, что в самом начале этой части я говорил, что данные в таблицах в целом упорядочены «сверху вниз» и «слева направо» (то есть, по широте и долготе). Чтобы убедиться в том, что параметры линии тренда получились близкими к нулю не случайно или из-за выбранного способа сортировки, давайте пересортируем таблицу в случайном порядке и вновь посмотрим на коэффициенты. В этом нам поможет самый первый столбец таблицы, «Случайный индекс», обсуждение которого мы отложили. Пересортировав таблицу по возрастанию этого индекса (и тем самым расположив строки в случайном порядке), можно убедиться, что никакого заметного влияния на коэффициенты линии тренда сортировка не оказывает, даже если мы ее повторим несколько раз [14]. Таким образом мы с вами показали, что «остатки» являются случайными величинами и не содержат «оставшихся в этих остатках» каких-то систематических закономерностей, что крайне важно для дальнейших рассуждений [15].

Второй важный график, который мы рассмотрим в этой части — так называемая диаграмма рассеяния «вычислено-измерено». Как очевидным образом следует из ее названия, на ней приведена зависимость рассчитанных углов от их измеренного, экспериментального значения. Также совершенно очевидно, что чем теснее зависимость между рассчитанными и измеренными углами, то есть, чем ближе наша расчетная регрессия описывает экспериментальные значения точек, тем ближе эти точки будут группироваться вокруг прямой линии с коэффициентом угла наклона в точности равным единице [16]. Оценить это нам поможет точно такая же линия тренда, как и на предыдущем графике. Но в этом случае наклон этой линии нам скажет, насколько близко наша модель (а именно, найденная расчетом широта главной параллели) описывает измеренные значения, а коэффициент корреляции покажет, насколько она точна в отношении случайных ошибок измерений.

Из графика, построенного на всей совокупности экспериментальных точек видно, что и коэффициент наклона линии (0,9993), и коэффициент корреляции (0,9997) очень близки к единице, а значит и расчет, и экспериментальные данные в определенном смысле «очень неплохи». Более того, если мы подставим в ячейку «Пробный угол» стартовое значение значение угла в 55° (напомню читателю, что это величина «альтернативной» широты главной параллели, известная из литературы), то получим значение для коэффициента наклона 1,037, что гораздо сильнее отличается от единицы, чем для рассчитанной широты в 52,08°.

Тут обязательно следует подчеркнуть, что во всех этих рассуждениях я оперирую качественными терминами «заметное влияние», «очень близки», «гораздо сильнее» и так далее, но нигде не оцениваю эти термины количественно. Дело в том, что все выше сказанное тесно связано с важнейшими количественными характеристиками нашего расчета: достоверностью и надежностью нашей модели и точностью (доверительным интервалом) для рассчитанного параметра — широты главной параллели. Hаверное стоило бы сразу же к обсуждению этих характеристик и перейти, однако такие вычисления для нелинейной регрессии не так просты, как для линейной, и не могут быть реализованными простыми «встроенными» средствами LibreOffice. Поэтому имеет прямой смысл посвятить этому целую отдельную главу, а в этой части мы с вами напоследок займемся еще одним небольшим качественным вопросом, который однако же имеет важное количественное значение.

Как я уже говорил в самом начале этой части, мы с вами использовали для расчета весь экспериментальный массив в 160 измеренных углов, но не сказал, сколько точек могло бы хватить для расчета. Давайте теперь уменьшим количество данных и посмотрим, что в этом случае произойдет. В том, чтобы избежать излишней «упорядоченности» точек в разных фрагментах нашей таблицы, нам еще раз поможет ее первый столбец «Случайный индекс». Пересортируем по нему таблицу, получив строки таблицы в случайном порядке, и проведем весь описанный выше расчет по первым 10, 20, 30 (и так далее) строкам таблицы [17].

Из приведенной таблицы, в которую наряду с рассчитанным значением широты главной параллели включены также некоторые важные характеристики, обсужденные чуть раньше, следует, что довольно близкое к конечному (полученному на всем массиве из 160 измерений) значение можно получить, используя всего десяток таких измерений! Более того, видно, что дальнейшее добавление экспериментальных точек не то, что не сильно улучшает наши расчеты, но даже выглядит, как случайное блуждание в какой-то области значений. Вопрос о том, почему так происходит, я также оставлю для следующих глав, здесь же еще раз зафиксируем: методика, похоже, работает и для весьма ограниченного набора измерений.

1. Сами сканы карт располагаются на сайте дочернего проекта Mapster.

2. См. примерную разграфку покрытия, приведенную в третьей части.

3. Подобный порядок сортировки выбран исключительно для удобства поиска нужных данных. Вообще, порядок сортировки никак не сказывается на расчетах по всему массиву точек, однако есть момент, когда сортировка имеет значение; на нем я остановлюсь немного позже.

4. К сожалению, здесь следует констатировать, похоже, общую закономерность: отсутствие датировки больше характерно для самых ранних листов. Это понятно: указания дат имело смысл делать лишь при переиздании и уточнении информации. Поэтому и самые ранние даты, которые удалось бесспорно выявить — это «после 1865 г.» В частности, именно поэтому стала невозможной одна из первых идей «лобового» решения проблемы: разделить весь массив на «старые» и «новые» листы и попытаться сравнить получившиеся значения искомого параметра статистическими методами. Более того, видно, что подавляющее большинство листов в исследованном массиве — это переизданные листы.

5. Внимательный читатель здесь возможно заметил, что высоту и ширину рамки при пересчете в дюймы я рассчитываю, используя длину катета получившегося прямоугольного треугольника. Строго математически это не корректно, истинной длиной отрезка здесь является гипотенуза. Однако углы наклона рамки относительно границ растра столь малы, что длины катета и гипотенузы различаются в пределах 1-2 пикселей, что совершенно не сказывается на точности расчета, но меньше загромождает данные.

6. Поэтому правильнее их называть не «независимыми» (в противоположность «зависимой» от них), а например, «объясняющими», «предикторами» или «регрессорами». Далее по тексту я так и буду делать.

7. У нас с вами всего две «объясняющие» переменные — широта и долгота, поэтому «мульти» можно смело опустить и говорить просто о коллинеарности.

8. Филипп Картаев. Введение в эконометрику, М., Экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2019.

9. В «вычислительном» смысле: разница между всеми этими решениями становится меньше наперед заданного критерия сходимости алгоритма. Визуально-геометрически это выглядит так: если построить график зависимости минимизируемой суммы квадратов отклонений от значения оптимизируемого параметра, то вместо кривой с четко выраженным минимумом, напоминающей параболу, мы увидим что-то больше похожее на «ведро с плоским дном».

10. Ниже для простоты изложения я опустил везде слова «по абсолютной величине», а внимательный читатель наверняка обратил внимание на то, что в таблице стоит значение «- 0,29». На самом деле, знак при коэффициенте для обсуждаемых эффектов не имеет никакого значения и лишь показывает, имеет ли тенденцию зависимая переменная увеличиваться с увеличением «предиктора» или уменьшаться.

11. Любопытным является следующее наблюдение: если мы самые первые точки выбираем и заносим в таблицу в более или менее случайном порядке, то до первых двух-трех десятков измерений коэффициент корреляции «широта-долгота» практически равен нулю. По мере же заполнения таблицы большим числом данных корреляция начинает резко возрастать и достигает указанного значения. Визуально это проявляется и на графике в виде группировки точек и регулярных структур.

12. Или выражаясь более точно, вероятность встретить остаток (отклонение) по абсолютной величине больше 9,8 минут будет меньше 5%, а остаток больше 14,7 минут — меньше 0.1% (меньше одной тысячной). Поэтому такие большие значения как «3 сигма» в наборе из 160 точек и вовсе не встречаются.

13. Напомню, что это «экспериментальный нелинейный решатель LibreOffice» и метод «дифференциальной эволюции».

14. При такой пересортировке всего массива пересчитывать Решателем ничего не нужно, так как он оперирует лишь с суммой квадратов по столбцу, а эта сумма не зависит от сортировки.

15. Второй важный вопрос — о нормальности распределения этих остатков пока отложим до следующих глав.

16. Если же коэффициент в точности равен единице, то это значит, что расчетные углы в точности равны измеренным.

17. Здесь стоит сказать, что если не пересортировывать данные перед каждым последовательным расчетом, такие последовательные расчеты не являются независимыми в статистическом смысле, поскольку каждый последующий использует все данные из предыдущего. Однако для дальнейших рассуждений это совершенно не важно, более того, это лучше моделирует реальную ситуацию, когда в массив данных мы измерения просто добавляем.