Возможно, вы сталкивались с текстурами нормали представленными в двухканальном виде RG(XY). Она же BC5/Компрессия нормали. Что же стало с B(Z)?

Z компоненту действительно можно точно восстановить, если изначально текстура была составлена корректно. Основное правило текстуры нормали, это нормализация, длина вектора в каждой точке должна составлять единицу.

В отличие от X, Y компонент, которые, условно, представляют значения от -1 до 1, Z компонента всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Область значений нормали в данном случае можно представить в виде полусферы, где все возможные значения являются ее поверхностью.

Почему это важно? Расположим XY вектор на его плоскости и проведем перпендикуляр по оси Z.

В данном случае, пересечение возможно в единственной точке на поверхности полусферы, осталось ее вычислить. На деле нам нужно найти ту самую высоту перпендикуляра и здесь мы заметим кое-что интересное, треугольники, получаемые при добавлении значения в новом пространстве, являются прямоугольными, т.к. перпендикулярны собственной оси.

Рассмотрим первый треугольник ABC, который мы получаем из XY компонент, где BC = X, а AB = Y. В нем образуется неизвестная гипотенуза AC, которую мы попытаемся вычислить.

- - - - -

Возможно вы помните со школьной программы теорему Пифагора "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов", и будете правы, мы действительно можем найти результат по формуле:

Из чего следует, что:

Но почему? Есть множество визуальных примеров, демонстрирующих доказательство теоремы, мое любимое, это доказательство "Методом площадей".

Впишем в квадрат со сторонами a+b еще один квадрат со сторонами c, являющимися гипотенузой получившихся правильных треугольников abc.

Все точки вписанного квадрата равноудалены, нам так же известна сумма углов в точках касания т.к. треугольник abc прямоугольный, то сумма острых углов равна 90 градусам, а значит и углы внутри вписанной фигуры равны 180 - 90 = 90 градусам, из чего следует, что вписанная фигура является квадратом.

Если мысленно достроить прямоугольники со сторонами ab, то гипотенуза c аккурат делит их напополам, а значит, площадь треугольников равна ab/2, сложив имеющееся, получим площадь фигуры: 4(ab/2) + (cc) = 2ab + (cc).

Пересоберём имеющиеся куски внутри той же фигуры сохранив размер сторон a+b.

Заметим, что его площадь равна 2ab + (aa+bb), из чего следует, что (сс) = (aa+bb), теорема доказана.

- - - - -

Возвращаемся к нашему примеру, допустим мы нашли гипотенузу AC на плоскости XY, теперь нам нужно найти катет CD представляющий ту самую Z компоненту в треугольнике ACD.

Очень кстати, что нам известна длина гипотенузы AD, т.к. мы работаем с нормализованной величиной она всегда будет равна 1.

Соберем уравнение где:

соответственно:

Единица в квадрате равна единице, и так же известные нам X и Y значения перенесем к единице.

Осталось взять обе части в корень и в итоге получить Z компоненту.

Учитывая то, что берется корень, мы можем быть уверены, что полученное значение будет положительным и дополнительно брать модуль Z не нужно, однако, принято вписывать функцию в saturate() для контроля над возможными артефактами из-за неточности вычислений машиной.

- - - - -

Дополнительно воспользуемся трюком со скалярным произведением. Возьмем из нашего уравнения "xx - yy" в скобки и получим:

Интересно тут то, что xx + yy можно представить более производительной функцией dot(xy,xy). Так как результат скалярного произведения, равен сумме произведений компонент передаваемых векторов, мы можем дважды передать текущий вектор и получить V1xV1x+V1yV1y, где V1 это наш вектор XY.

Итого, функцией восстановления Z вектора станет:

- - - - -

1.Почему бы просто не нормализовать вектор XY?

В таком случае изменится только длина вектора, но не его направление и нормаль продолжит находиться в плоскости XY, что некорректно.

2.Почему бы просто не нормализовать вектор XY где Z равно единице?

В этом случае вектор так же не будет корректен и возникнет смещение. Чем ближе оригинальное значение Z будет ближе к 0, тем сильнее будет смещение.