Что такое адиабатический инвариант?

Сегодня мы расскажем об адиабатических инвариантах — физических величинах, которые сохраняются с высокой степенью точности при достаточно медленных изменениях параметров системы, которая совершает почти периодические движения.

Запустим груз обычного нитяного маятника так, чтобы он вращался по окружности, и будем медленно уменьшать длину нити получившегося конического маятника с помощью электромотора. При этом увеличивается не только частота вращения, но и угол отклонения нити. При движении конического маятника момент импульса груза сохраняется, и радиус описываемой грузом окружности оказывается пропорционален корню четвёртой степени из его длины. Этот вывод подтверждается экспериментом, пока углы отклонения нити не становятся слишком большими.

Теперь запустим маятник в обычном режиме колебаний в одной плоскости, угловая частота при этом остаётся той же самой. Чтобы избавиться от влияния трения и силы сопротивления воздуха, мы промоделировали колебания маятника в программе «Живая физика», и с уменьшением длины подвеса амплитуда колебаний опять увеличивалась пропорционален корню четвёртой степени из длины.

Моделирование позволяет сделать то, что в натурном эксперименте реализовать весьма затруднительно, и мы посмотрели, как изменяются колебания пружинного маятника, если медленно увеличивать жёсткость пружины. Траектория маятника на фазовой плоскости представляет собой эллипс, и с ростом жёсткости диаметр эллипса по координате медленно уменьшается, а диаметр эллипса по скорости медленно увеличивается, при этом произведение диаметров, а значит и площадь эллипса, практически не меняется.

И вот оказывается, что для всех трёх маятников при медленном по сравнению с периодом колебаний изменении параметров площадь их фазовых портретов приближённо сохраняется — это и есть адиабатические инварианты этих систем.

Чтобы понять, как сюда попал из термодинамики термин «адиабатический», рассмотрим совсем простую систему: одномерный газ, состоящий из одной частицы, которая летает с постоянной по величине скоростью между двумя стенками и упруго отскакивает от них. Фазовым портретом такой частицы является прямоугольник. Если теперь медленно уменьшать расстояние между стенками с постоянной скоростью, форма прямоугольника на фазовой плоскости будет меняться, но его площадь останется прежней. При таком адиабатическом сжатии скорость частицы растёт обратно пропорционально расстоянию между стенками, а создаваемое ею давление — обратно пропорционально кубу этого расстоянию.

У заряженной частицы, вращающейся в магнитном поле, тоже есть адиабатический инвариант, и это снова момент импульса. Параметром для ларморовский радиуса вращения частицы является величина магнитного поля, так же как для конического маятника — его длина.

А ещё надо заметить, что адиабатические инварианты вышли на передний план в квазиклассической квантовой теории, которую разрабатывал Нильс Бор. Но нельзя объять необъятного, так что все милые сердцу подробности вы сможете узнать, посмотрев наш новый ролик «Что такое адиабатический инвариант?». И не забывайте ставить лайки!