Что такое перколяция?

Сегодня мы поговорим о том, что такое перколяция. Латинское слово percolare означает «просачиваться, фильтровать». Представим себе сосуд, наполненный водой, стенки которого сделаны из пористого материала. Пусть поры не меняются в размерах, но их становится всё больше и больше, и в какой-то момент они соединяются в цепочки, по которым вода будет просачиваться из сосуда наружу. А мы в своих опытах изучали просачивание не воды, а электричества.

Мы взяли пластмассовую трубку, положили на её дно металлический кружок и заполнили свинцовой дробью. Кружок через мультиметр соединили с металлическим поршнем. Если нажать поршнем сверху на дробь, сопротивление контактов между дробинками падает, и слышен прозвон — цепь замкнулась. Затем мы постепенно разбавляли дробь пшеном, крупинки которого имеют примерно такой же размер, тщательно перемешивали и для каждой концентрации дроби проводили серию из пяти опытов. Когда свинец составлял 30% объёма смеси, перколяция ещё происходила, а при 25% — уже нет, порог проводимости оказался достаточно узким. Уточнить этот результат весьма непросто, потому что трудно добиться равномерного перемешивания дроби и пшена, слишком сильно различаются их плотности.

Здесь приходится переходить к компьютерному моделированию, и в Интернете можно найти множество моделей перколяции на двумерных сетках, в которых ячейки становятся проводящими случайным образом с заданной вероятностью. При этом для разных моделей порог просачивания несколько различается, но он всегда очень узкий, если сетка достаточно велика. А вот если взять сетку для игры в гекс в виде параллелограмма с правильными шестиугольными ячейками и заполнять её случайным образом, легко доказать, что порог перколяции в этом случае составляет ровно 50%. На замечательном канале Нильса Берглунда есть и трёхмерные модели. Для куба с ребром 32 просачивание происходит, когда концентрация проводящих ячеек достигает 32%, и это удивительно близко к результату нашего эксперимента со свинцовой дробью и пшеном!

Как увеличиваются в размерах кластеры связанных между собой проводящих элементов при приближении к порогу перколяции? Почему этот порог такой узкий для больших сеток? Что изучают математики, которые занимаются построением теории перколяции? Об этом вы узнаете из нашего нового ролика «Что такое перколяция?».

Смотрите и не забывайте ставить лайки!