Косинус разности и вечный двигатель

Недавно благодаря нашему другу и активному участнику обсуждений наших роликов Александру Бердникову мы открыли для себя сайт профессора математики Пенсильванского университета Марка Леви с замечательным разделом «Mathematical Curiosities» — «Математические диковинки». И там есть статья, мимо которой мы пройти не смогли, — доказательство формулы косинуса разности на основе принципа невозможности вечного двигателя.

Идея заключается в следующем: работа, совершаемая силой тяжести, не может зависеть от пути, по которому перемещается тело из начальной точки в конечную. Если бы это было не так, мы прошли бы до конечной точки по пути, на котором работа силы тяжести больше, а затем вернулись в исходную точку по другому пути, при этом работа силы тяжести меняет знак на противоположный, но по величине остаётся меньше, чем на первом пути. Тогда при обходе замкнутого контура работа оказывается положительной, и мы получаем вечный двигатель, что невозможно.

А теперь выберем в поле тяжести два специальных пути: пусть один из них проходит по гипотенузе, а другой — по двум катетам прямоугольного треугольника. Приравнивая работу силы тяжести по этим путям, мы легко получаем формулу косинуса разности двух углов!

И тут возникает вопрос: неужели вся тригонометрия выводится из невозможности вечного двигателя? Мы, конечно, знаем, что физика часто помогает математике, но не настолько же! Все тригонометрические соотношения выводятся чисто геометрически из определений основных тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и теоремы Пифагора. В чём же тут дело?

--------------------------------------------

Выпуск создан при поддержке Узловского Молочного Комбината.